Фамилия Бодрашова — женская форма фамилии Бодрашов, и её происхождение напрямую связано с прозвищем или именем Бодраш. Основа здесь — прилагательное «бодрый», то есть энергичный, живой, не знающий усталости. Суффикс -аш- в русских прозвищах и фамилиях встречается нечасто и обычно придаёт слову оттенок просторечной или ласкательной оценки. Сравните: «милаш» (от милый), «здоровяш» (от здоровый). Соответственно, Бодраш — человек, которого окружающие называли «бодрячком», «живчиком». Модель образования фамилии типична для северных и центральных областей России: сначала прозвище Бодраш, затем, при оформлении фамилии, добавился суффикс принадлежности -ов (чей? — Бодрашов), а для женщин — окончание -а.

Версия о происхождении от церковного имени маловероятна: в святцах нет ни Бодраша, ни близкого корня. Это именно мирское прозвище, которое давали по характеру. В документах XVII–XVIII веков подобные прозвания (Бодрый, Бодряк, Бодрень) фиксируются среди крестьян и посадских людей — то есть предки носительницы фамилии были, скорее всего, не знатного рода, а свободными или дворовыми людьми, получившими фамилию после отмены крепостного права.

Географически фамилия Бодрашов (и Бодрашова) тяготеет к Поволжью и Уралу. В переписях XIX века она встречается в Вятской, Пермской и Казанской губерниях. Это важно: суффикс -аш- в прозвищах особенно любили в северных и восточных говорах. Если ваши предки оттуда, то связь с прозвищем «бодрый человек» почти наверняка верна.

Редкость фамилии делает её особенно ценной для генеалогии: в отличие от массовых Ивановых или Кузнецовых, Бодрашовых в одном уезде могло быть всего несколько семей, и все они, скорее всего, восходят к одному предку по имени Бодраш.