Фамилия Бодрая — это женская форма, а её основа — мужское прозвище или нецерковное имя Бодрый. В русской традиции такие фамилии на -ая/-ий (Бодрая, Бодрый) чаще всего встречались в южных и западных регионах, где прилагательное в роли фамилии закреплялось за целым родом без дополнительных суффиксов. Прозвище Бодрый было многослойным по смыслу. Слово «бодрый» в старину означало не только «живой и энергичный», но и «здоровый, сильный», а также «смелый» и даже «бдительный». За какой именно признак предок получил такое прозвище — сегодня точно не скажешь. Однако есть версия, что Бодрым могли называть не столько за характер, сколько за ремесло: в некоторых говорах «бодрый» связывали с кулинарным или винодельческим делом — так могли прозвать искусного повара или винокура. Эта версия не основная, но она объясняет, почему прозвище не было редким. В старину Бодрый действительно встречалось довольно часто и дало начало целому ряду родственных фамилий: Бодров, Бодреев, Бодренков. Фамилия Бодрая — одна из тех, что сохранила исходную форму прозвища почти без изменений, и это делает её прямым свидетельством того, как в русском быту личное качество или занятие превращалось в родовое имя.