Фамилия Бодринова — не просто женская форма от Бодринова, а отчество второго порядка: буквально «дочь Бодрина». А Бодрин, в свою очередь, — «внук Бодрого» или «сын Бодрого». Такая цепочка (Бодрый → Бодрин → Бодринова) типична для русских фамилий, где суффикс -ин указывает на принадлежность, а затем к этой основе добавлялся женский вариант.

Корень здесь — прилагательное «бодрый», но в старом русском языке у него было шире поле значений, чем сейчас. Прозвище Бодрый могли дать не только за живость и бойкость, но и за бдительность («бодрствующий»), смелость или физическую силу. В диалектах слово «бодрый» иногда означало «здоровый, крепкий», так что предок мог быть просто сильным человеком.

Обратите внимание на суффикс -ин-: он характерен для фамилий, образованных от прилагательных и прозвищ с окончанием на -ой/-ый (вроде Бодрый → Бодрин). Это отличает фамилию от патронимов на -ов/-ев, которые чаще крепились к именам на согласный. По модели образования Бодринова стоит в одном ряду с фамилиями вроде Скорый — Скорин — Скорина или Храбрый — Храбрин — Храбрина.

География фамилии не привязана к одной области: прозвище Бодрый встречалось повсеместно, но в северных и центральных губерниях — чаще, чем в южных. Встречаются варианты написания через «а» (Ба́дринова) — это следствие акающего произношения, но исходная форма именно с «о».