Фамилия Бодряжкин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано не с внешностью или характером, а с местным говором. В ней сразу бросается в глаза суффикс -яжк-. Это нестандартный словообразовательный элемент, который не встретишь в массовых фамилиях вроде Иванов или Кузнецов. В русских фамилиях суффикс -яг(а) и его производные (вроде -яжк-) часто указывали на прозвище, образованное от глагола или прилагательного с оттенком действия или свойства: «бодряга» — человек, который бодрится, напускает на себя бодрый вид, возможно, притворяется весёлым или подбадривает других.

Корень здесь прозрачный — бодр-, от общеславянского bъdrъ (бодрый, живой, крепкий). Но если бы фамилия означала просто «сын бодрого человека», она звучала бы как Бодров или Бодрёнков. Форма Бодряжкин указывает на прозвище Бодряжка — так в некоторых русских говорах (особенно северных и сибирских) могли называть бойкого, неунывающего человека или, наоборот, того, кто любит прихвастнуть и показать себя молодцом. В ономастике есть параллели: фамилии вроде Коряжкин (от «коряга») или Серяжкин (от «серяга» — серый, простой) образованы по той же модели.

Географически фамилия редкая и, скорее всего, имеет локальное происхождение. Основной ареал — центральные области России, с возможным тяготением к Вятке или Пермскому краю, где диалектное слово «бодряга» фиксировалось в значении «бодрый, энергичный человек». Встречается она и в среде старообрядцев, что может указывать на сохранение архаичных говоров.

Сословно носители фамилии, вероятнее всего, были государственными крестьянами или мещанами — в дворянских родословных книгах Бодряжкины не значатся. Фамилия могла закрепиться за одним родом в конкретной деревне, что типично для прозвищных фамилий на -кин: сначала отца звали Бодряжка, а его детей — Бодряжкины.

Единственная альтернативная версия — связь с названием рыбы «бодряк» (вид бычка), но она маловероятна: в русской ономастике фамилии от названий рыб обычно образуются с суффиксом -ов (Ершов, Окунев), а не через -яжк-. Так что основная версия — прозвище по характеру или поведению, закрепившееся в узком локальном говоре.