Фамилия Богачевский — типичный пример того, как географическое «дворянское» окончание -ский наслоилось на прозвище из народной среды. В основе лежит слово «богач», то есть зажиточный, состоятельный человек. Скорее всего, так могли прозвать либо владельца крупного хозяйства, либо удачливого торговца. Однако прозвище Богач могло быть и мирским именем: родители нарекали им ребенка с пожеланием будущего достатка — такая практика была распространена на Руси.

Модель образования проста: прозвище Богач → притяжательное прилагательное Богачев (чей? — сын Богача) → суффикс -ский, который превратил отчество в фамилию по польско-шляхетскому образцу. В XVII–XVIII веках суффикс -ский активно перенимали русские дворяне и духовенство, но им же нередко оформляли фамилии крестьяне, переселившиеся в другую местность: Богачевский буквально означает «выходец из владений или семьи Богачевых».

В исторических документах встречаются прямые родственные прозвища. С. Б. Веселовский упоминает Богаткова Федора, царского конюха (1573 год), и Богатого Ивана, холопа (1545 год). Эти записи показывают, что корень «богат-» активно использовался в именованиях XVI века, причем у людей разного социального положения — от холопа до служилого человека.

Фамилия Богачевский редкая и географически неоднородная. Её можно встретить как на западе России, так и на Украине и в Беларуси, что как раз объясняется польским суффиксом. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из семьи, где когда-то выделялся достатком — либо реальным, либо желанным.