Фамилия Богатских — яркий пример северорусской модели образования фамилий. Суффикс -их (а в родительном падеже множественного числа — -ских) указывает на то, что фамилия закрепилась на территориях, где был распространён так называемый «ижевый» тип: в старых новгородских землях, на Русском Севере, в Вятке и Приуралье. Такие фамилии отвечали на вопрос «чьи вы будете?» и означали принадлежность к целому роду или семье: Богатские — это «люди из семьи Богатого».

Основа фамилии — прозвище Богатой или прилагательное «богатый». В Древней Руси слово «богатый» означало не только владельца большого имущества, но и удачливого, щедрого, а также — в некоторых диалектах — зажиточного крестьянина, имевшего крепкое хозяйство. Прозвище Богатой могли дать человеку, который выделялся достатком среди соседей, или же, напротив, иронично — бедняку в насмешку. Такая практика была обычной: прозвище часто не соответствовало реальному положению дел.

Интересно, что фамилия Богатских встречается в двух вариантах написания: через «о» (Богатских) и через «а» (Богацких). Второй вариант — результат аканья, когда безударное «о» произносится как «а», и это отразилось на письме. Оба варианта имеют общее происхождение, но географически первый чаще фиксируется в северных и уральских записях, а второй — в более южных регионах, где аканье было нормой.

Поскольку фамилия образована по модели «прозвище + -их/-ских», её носители в большинстве своём происходили из крестьянской или мещанской среды. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано: суффикс -ских в дворянских фамилиях (например, Трубецких) был топонимическим, а не патронимическим. Здесь же — чисто бытовая, деревенская традиция именования по главе семьи.

В современной России фамилия Богатских остаётся редкой. Её можно встретить в Кировской области, Пермском крае, Удмуртии и некоторых районах Сибири — то есть там, куда в XVII–XVIII веках переселялись выходцы с Русского Севера. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были государственными или монастырскими крестьянами, которые осваивали новые земли за Уралом.