Фамилия Богатых — один из ярких примеров «северорусского» типа фамилий, образованных с помощью суффикса -их/-ых. Если в центральной России и на юге закрепились фамилии на -ов/-ев (Богатов) или -ин (Богатин), то на Русском Севере, в Сибири и в некоторых районах Урала предпочитали отвечать на вопрос «чьи вы?» формой родительного падежа множественного числа: Богатых, то есть «из дома (семьи) Богатых». Такая модель указывает на принадлежность целому роду, а не одному человеку.

В основе фамилии лежит прозвище Богатый. В крестьянской среде, где все друг друга знали, это слово редко означало обладание большими деньгами в современном смысле. Скорее, Богатым могли назвать удачливого хозяина, собиравшего со своих наделов щедрый урожай, или человека, чей двор считался зажиточным по меркам деревни: крепкий дом, несколько лошадей, много скота. В некоторых говорах «богатый» имело и переносное значение — «обильный», «счастливый», «одаренный». Не исключено, что прозвище давали и просто в насмешку — бедняку с претензиями, но такие случаи в ономастике скорее исключение, чем правило.

С точки зрения словообразования фамилия стоит в ряду таких же «семейных» прозваний, как Глухих, Косых, Хромых, Молодых. Все они фиксируют постоянный признак или положение целого рода. В документах XVI–XVII веков, особенно в переписных книгах Вятки, Перми и Поморья, встречаются записи крестьян «Ивашко Богатой» или «Ондрейко Богатых». Со временем форма на -их застыла и перестала склоняться, превратившись в современную фамилию, которая одинаково пишется для мужчин и женщин.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Богатых — самая редкая из тройки «Богатов — Богатин — Богатых». Она почти не встречается за пределами традиционного ареала бытования фамилий на -их/-ых. Поэтому, если ваши предки носили фамилию Богатых, вероятнее всего, их корни ведут в северные или сибирские земли, где такая модель была нормой, а не исключением.