Фамилия Богатырь — редкий случай в русской ономастике, когда слово попало в фамилию без типичных суффиксов -ов или -ин. Она образована напрямую от прозвища, а то, в свою очередь, от нарицательного «богатырь». В древнерусском языке это слово означало не только былинного героя, но и вообще сильного, рослого человека, воина или удальца. Так могли прозвать конкретного человека за физическую силу, рост или воинскую удачу — и прозвище закрепилось за его потомками в неизменной форме.

Слово «богатырь» — не исконно славянское. Лингвисты сходятся на том, что оно пришло из тюркских языков (сравните с турецким «багатур» — «храбрец, витязь»), а в древнерусский язык попало через посредство тюркских степных народов. Уже в «Слове о полку Игореве» встречается форма «богатырь» в значении «доблестный воин». Таким образом, фамилия Богатырь хранит в себе память о древнем заимствовании, которое полностью обрусело.

По модели образования фамилия относится к так называемым «прозвищным» или «бессуффиксным» — их давали напрямую, без добавления -ов/-ев. Такие фамилии чаще встречались на юге России, в украинских и белорусских землях, где суффиксация была менее обязательной. В северных и центральных областях России прозвище Богатырь скорее превратилось бы в Богатырёва. Поэтому носители фамилии Богатырь с большой вероятностью происходят из регионов, где были сильны малороссийские или южнорусские говоры.

По социальному составу прозвище Богатырь не было закреплено за каким-то одним сословием. Его мог получить и крестьянин-силач, и казак, и служилый человек. В казачьей среде такие прозвища были особенно распространены, потому что физическая сила и боевая удаль ценились выше всего.

Встречается также вариант фамилии с ударением на первый слог — Бо́гатырь, но он менее распространён. Основная масса носителей произносит фамилию с ударением на последний слог, как и само слово «богаты́рь». В написании путаницы почти не бывает: фамилия пишется через «о» в первом слоге, хотя в некоторых диалектах могло произноситься и «багатырь» — но письменная форма закрепилась литературная.

Коротко: предок носителя фамилии Богатырь получил своё прозвище за силу, рост или воинскую доблесть, а фамилия сохранила это прозвище без изменений, что указывает на её южное или западнорусское происхождение.