Фамилия Богайский — пример того, как одна основа может вести сразу к нескольким версиям происхождения. Самая очевидная и географически подкреплённая: фамилию дали по названию местности. На карте есть село Садыр-Богай (сейчас Хмелево), есть Богай (Суворовское) и, возможно, другие поселения с похожим корнем. Если предок был оттуда родом или владел такой землёй, его и записывали как Богайского — по типичной для польской и западнорусской традиции модели на «-ский».

Но на этом история не заканчивается. Само слово «Богай» могло быть личным именем или прозвищем. Его тюркская основа bogay (bugay) означает «племенной бык, баран». Вряд ли речь шла о скотоводстве в прямом смысле — скорее, так могли назвать крупного, сильного, здорового мужчину. В старину у этого слова были и другие значения: «выпь, болотная птица» (отсюда прозвище удачливого охотника) и «одежда вроде сарафана» (тут уже про портного или продавца). Какая из версий верна для конкретного рода — без генеалогии не скажешь, но все они рабочие.

В документах начала XX века встречается Богайский Станислав Иванович, 1873 года рождения, из села Комаровичи Мозырского уезда Минской губернии, белорус. Эта запись ценна тем, что привязывает фамилию к конкретному региону — Полесью, где пересекались славянские, балтские и тюркские влияния. Так что для носителя фамилии Богайский логичнее всего искать корни предков на западе современной Беларуси или в соседних областях Украины.