Фамилия Богук — редкий пример того, как уменьшительное имя перешло в фамилию, сохранив при этом прямую отсылку к имени Богдан. Скорее всего, основой послужило краткое, «домашнее» прозвище Богук — ласкательная форма от Богдан. Имя Богдан пришло из Болгарии и означает «данный Богом»: в старину его давали ребёнку, которого считали вымоленным у Бога. Соответственно, фамилия Богук буквально несёт тот же смысл — «сын Богдана» или «потомок того, кто дан Богом».

Есть и вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование. Согласно ей, фамилия восходит к старинному славянскому имени Богуслав, которое образовано от словосочетания «Богу слава» и означает «тот, кто славит Бога». В этом случае Богук могло быть сокращённой, обиходной формой полного имени — так же, как Богдан превращался в Богука.

Интересно, что фамилия встречается не только в славянских регионах, но и в документах советского времени. В архивах МВД Республики Коми записан Богук Степан Филиппович, родившийся в 1916 году в Брестской области. Эта запись — редкое документальное подтверждение бытования фамилии на западе современной Беларуси, в зоне активного смешения польских, украинских и белорусских говоров.

Словообразовательная модель здесь проста: суффикс -ук (в белорусской и украинской традиции — -ук/-юк) указывает на принадлежность к роду. То есть Богук — это не просто имя, а указание на «сына Богука» или «потомка Богдана». Такая модель типична для западнорусских земель, где фамилии на -ук встречаются особенно часто.