Фамилия Богайчук образована от прозвища Богай. Вполне возможно, что оно является фонетическим вариантом прозвища Багай, возникшим под влиянием «окающих» говоров. Обычно так в некоторых областях России называли шалуна, озорника. Это были притяжательные прилагательные с суффиксами –ук /-юк, -чук, -вич, изначально указывающие на прозвище отца. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Богай, со временем получил фамилию Богайчук.