Фамилия Богайчук — типичный пример восточнославянской модели фамилий на -чук. Этот суффикс (как и -ук/-юк) в первую очередь характерен для украинской и белорусской ономастики. Он указывает на «малого» или «сына»: Богайчук — это, по сути, «сын Богая». То есть фамилия закрепилась за потомком человека, которого в округе знали под прозвищем Богай.

Сам корень — прозвище Богай — скорее всего, не имеет отношения к слову «богатство». В русских говорах, особенно в тех, где «окают», буква «о» в безударной позиции звучит отчетливо. Поэтому Богай могло быть фонетическим вариантом прозвища Багай. В некоторых областях России багаем называли шалуна, озорника, непослушного ребенка. Связь тут прямая: сначала отца дразнили за бойкий или своенравный характер, а потом это прозвище перешло в фамилию его детям.

Есть и другая версия, хотя и менее вероятная для формы на -чук. В украинском языке «богай» (или «богайло») — диалектное название ленивого, неповоротливого человека, увальня. В этом случае смысл прозвища меняется на противоположный (не озорник, а лентяй). Однако, учитывая, что суффикс -чук чаще встречается в западных регионах Украины, где «богай» в значении «лентяй» как раз фиксируется, исключать эту версию нельзя.

Примечательна и география фамилии. Богайчуки встречаются не только на Украине, но и в южных областях России, а также в Молдове. Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в разных местах независимо — от одного и того же прозвища, но с разными оттенками значения. В отличие от фамилий на -ов (Богаев), форма -чук осталась более архаичной и теснее связанной с прямым называнием по отцу, без добавления дополнительного патронимического суффикса.

Так что, если ваши предки Богайчуки, они, скорее всего, происходят из среды, где ценили не столько богатство, сколько живость характера — или, напротив, где лень бросалась в глаза настолько, что стала семейным прозвищем.