Фамилия Богич звучит не по-русски, и это верная подсказка. Её основа — не церковнославянское «Бог», а южнославянское личное имя Бого, Богич — уменьшительная форма от имени Божидар (Богом данный) или Боголюб. В сербской, хорватской, черногорской среде суффикс -ич указывает на принадлежность: Богич буквально значит «сын (или потомок) Бого». Такая модель образования — самая распространённая в сербохорватском ономастиконе, её аналог в русском языке — фамилии на -ов/-ев.

В сербских фамилиях суффикс -ич выполняет ту же роль, что русское -ов: он патронимический. Поэтому Богич — не прозвище, не указание на профессию, а родовое имя, которое закрепилось за детьми и внуками человека по имени Богич или Бого. Встречается фамилия и у западных славян, например у словенцев (Bogič), но там она может быть образована от другого корня — от слова «бог» в значении «судьба, доля» (ср. словенское bogič — «бедняга»). Впрочем, для южнославянского ареала версия с личным именем остаётся основной.

В России фамилия Богич — редкая, принесённая переселенцами с Балкан или потомками сербских офицеров, которые служили в русской армии с XVIII века. По переписям XIX века единичные носители встречались в южных губерниях (Херсонская, Таврическая). Если вы носите эту фамилию, то с высокой вероятностью ваши предки — православные славяне с Балкан, а сама фамилия — не «божественная», а обычная семейная метка, означающая «внук Бого».