Фамилия Богряшов — редкий случай, когда на слуху оказывается не основа, а суффикс. На первый взгляд кажется, что корень здесь «богр-», и фамилия связана с багряным, красным цветом. Но это ловушка: если бы предка прозвали Багряным, мы бы получили Багрянов или Багряшов (через «а»). Написание через «о» — Богряшов — выдаёт другую историю.

Вероятнее всего, в основе лежит не цвет, а личное имя или прозвище Богряй. В старых русских говорах «богрять» значило «шуметь, буянить, кричать». Человек с таким прозвищем — громкий, беспокойный, возможно, скандальный. Модель образования типична: прозвище на -яй (Богряй) → притяжательное прилагательное с суффиксом -ов → фамилия Богряшов. Суффикс -ш- в данном случае не уменьшительный, а скорее разговорный, диалектный вариант оформления основы, характерный для северных и среднерусских говоров. В документах XVII века встречаются крестьяне Богряевы, а Богряшов — более поздняя, «окающая» форма того же корня.

Есть и вторая версия, менее вероятная. В южнорусских областях «богря» могло быть искажением слова «багря» — красный. Тогда прозвище Богряй дали бы рыжему или румяному человеку. Но в этом случае ожидалось бы написание Багряшов, а не Богряшов. Оканье (чёткое «о» в безударном положении) закрепило форму именно с «о», что указывает на владимирское, костромское или нижегородское происхождение фамилии.

Фамилия немногочисленная, недворянская. По сословному составу — почти наверняка крестьянская или мещанская. В XIX веке Богряшовы фиксируются в основном в Вятской и Пермской губерниях, что косвенно подтверждает севернорусский след. Никаких известных исторических личностей с этой фамилией нет — она осталась в тени, сохранив живую разговорную основу без книжной обработки.