Фамилия Богрычёва — форма женского рода от мужской фамилии Богрычёв. Чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с основой — прозвищем или именем Богрыч. Это один из тех случаев, когда корень неочевиден, и этимологу приходится выбирать между несколькими версиями.

Самая вероятная версия связывает Богрыча с диалектным словом «богрый» — так в некоторых русских говорах называли красный, багровый цвет. Прозвище Богрыч могли дать человеку с румяным лицом, рыжими волосами или, например, тому, кто носил одежду яркого, красного оттенка. В этом случае фамилия — типичный пример прозвища по внешнему признаку, которое затем закрепилось в роду. Суффикс -ыч в прозвище (а затем и в фамилии) указывает на принадлежность к определённому лицу: Богрыч — сын или потомок Богра, Богира. Но имени Богир или Богр в святцах нет, поэтому здесь работает именно прозвищная модель.

Менее убедительная, но возможная версия — связь с тюркским корнем «багыр» (медь, медный). В таком случае Богрыч могло быть прозвищем кузнеца или человека, работавшего с медью. Однако фонетический переход «багыр» → «богрыч» неочевиден и требует дополнительных допущений. Поэтому версия с цветом выглядит предпочтительнее.

Фамилия Богрычёв (и Богрычёва) — редкая. Она почти не встречается в центральных областях России, но фиксируется в южных регионах, особенно в Ростовской области и Краснодарском крае. Это указывает на то, что фамилия могла сложиться в среде казачества или крестьян-переселенцев. Суффикс -ёв в окончании (а не -ев) — орфографическая особенность: после шипящих под ударением пишется ё, хотя произносится как [о]. В старых документах фамилию могли записывать как Богрычев или Богрычов.

Таким образом, носительница фамилии Богрычёва — потомок человека по прозвищу Богрыч, скорее всего, румяного или рыжего, и её предки жили на юге России, возможно, в казачьей среде.