Фамилия Богутин — редкий пример, когда в основе лежит не имя Богдан, а напрямую слово «бог». В этом её отличие от массовых Богдановых, Богдановичей и даже Богучаровых. Здесь работает суффикс -ут- (или -ут-ин), который в русской антропонимии встречается нечасто. Обычно он прикреплялся к основе прозвища или имени и придавал слову оттенок ласкательности или принадлежности: так появлялись фамилии Лобутин (от «лоб»), Горбутин (от «горб»), Холутин (от «холуй»). Богутин, скорее всего, означало «божий человек» — не в прямом смысле монах или святой, а человек, которого в округе считали благочестивым, богомольным или, напротив, получившим прозвище «Бог» за что-то другое: за высокий рост, властный характер или просто за то, что в семье его так ласково называли родители.

Суффикс -ин указывает на стандартную притяжательную модель: «чей?» — Богутин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Богут или Богута. Сама основа «Богут» могла быть краткой формой от древнерусского имени Богуслав или просто усечением от Боголюб. В польской и белорусской традициях есть похожие фамилии — Богут, Богуцкий, и там корень тоже восходит к божественному. Но у Богутина, в отличие от них, отчётливый русский суффикс, что указывает на происхождение из великорусских земель, скорее всего, из центральных или северных губерний, где такие модели были живы.

Встречается фамилия редко. Её носители могли быть крестьянами или посадскими людьми: фамилия не звучит как дворянская, в родословных книгах она не фигурирует. Зато она могла закрепиться за одним родом в конкретной деревне и передаваться без изменений. Если ваши предки — Богутины, стоит смотреть в сторону Ярославской, Костромской или Вологодской губерний: именно там чаще всего встречаются фамилии с уменьшительным суффиксом -ут-.

Вторая, менее вероятная версия — что фамилия происходит от тюркского имени или прозвища. В татарском языке есть слово «богут» — «подавленный», «угнетённый», но такое значение вряд ли стало бы основой для русской фамилии. Скорее всего, это случайное созвучие. Ономастический словарь Б. Унбегауна не выделяет Богутина в отдельную статью, но модель полностью соответствует его описанию русских фамилий на -ин от прозвищ с суффиксом -ут.

Так что, если коротко: Богутин — это «сын Богута», а Богут — либо ласковое прозвище богомольного человека, либо сокращение от Богуслав. Фамилия редкая, но происхождение у неё прозрачное и вполне русское.