Фамилия Болбатунов — редкий пример, где основа прозвища, скорее всего, звукоподражательная, а не профессиональная или именная. В её центре — глагол «болботать» или «болбатать», который в диалектах означал «говорить невнятно, бормотать, лопотать». Прозвище Болбатун давали человеку с неразборчивой речью, который мямлил или тараторил себе под нос. Суффикс -ун в русских прозвищах активен: он образует названия лиц по характерному действию (говорун, ворчун, крикун). Болбатун — тот, кто постоянно болбочет.

Модель образования фамилии проста: прозвище Болбатун + притяжательный суффикс -ов (чей сын? — Болбатунов). Такая схема типична для крестьянской и мещанской среды XIX века, когда фамилии фиксировали по отцу. В данном случае сын Болбатуна стал Болбатуновым. Аналогов по словообразованию немало: Болтунов (от «болтать»), Бормотунов (от «бормотать»), Ворчунов (от «ворчать»).

В польском, украинском и белорусском языках есть слово «белбат» или «болбат» — так могли называть не только бормочущего, но и человека с замедленной реакцией или, наоборот, того, кто говорит быстро и невнятно. Фамилия могла возникнуть на западнорусских землях, где подобные корни встречаются чаще, но затем распространиться на восток. В современных базах данных носители Болбатуновых фиксируются в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на юге Украины — это говорит о позднем расселении, возможно, в ходе миграций XIX–XX веков.

Интересно, что в этой фамилии нет ни тюркских, ни финно-угорских элементов, которые часто ищут в нестандартных русских фамилиях. Это чисто славянская внутренняя форма: прозвище по речевой особенности, которое со временем стало фамилией. Если ваш предок носил такое прозвище, он, вероятно, был не злым и не ленивым, а просто человеком с живой, но нечёткой речью — и окружающие запомнили его именно по этой черте.