Фамилия Болих — редкий пример окончания на -их, которое сразу указывает на географию и социальный слой. Такие фамилии характерны для северных и центральных областей России, особенно для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний. Суффикс -их (и его вариант -ых) в русской ономастике означает принадлежность к дому, семье: Болих — буквально «из семьи Боли». Это типичная «фамилия-патроним» в родительном падеже множественного числа, которая закрепилась за крестьянами и мещанами, где имя главы семьи становилось прозванием для всего рода.

Основа фамилии — Бол(я). Самое прямое объяснение: от канонического имени Болеслав. В русской простонародной среде его сокращали до Боля или Болько, а уже от этих форм образовывали прозвища. Но есть и более бытовая версия: от слова «болеть» или «боль». В старину «болий» могло означать «больной», «страждущий». Так могли прозвать человека хилого, часто хворающего или, наоборот, того, кто лечил — знахаря. В говорах «болий» иногда значило «крикливый», «плаксивый» (о ребенке). Прозвище могло приклеиться и к ворчуну, и к тому, кто постоянно жаловался на здоровье.

Встречается и редкий, но правдоподобный вариант: связь с диалектным «боли́ха» — так в некоторых областях называли женщину-ворожею, колдунью. Тогда Болих — потомок такой женщины, но фамилия по мужской линии всё равно закрепилась за мужчиной, который мог быть сыном или внуком знахарки.

Спорных версий немного. Иногда фамилию пытаются вывести из тюркских корней (например, от «бол» — много, богатый), но это натяжка: окончание -их — чисто русский северный маркер, и для тюркских заимствований оно нехарактерно. Скорее всего, фамилия исконно славянская, возникла в среде крестьянского или посадского населения не позднее XVII века, когда фамилии на -их активно формировались в Поморье и на Вятке.

Сегодня фамилия Болих — редкость. Она не попала в списки массовых русских фамилий, её носители рассеяны, но сохраняют связь с северным регионом. Если ваши предки — Болихи, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из тех мест, где прозвище отца или деда закрепилось за всем родом.