Фамилия Бордовских принадлежит к северорусскому типу фамилий на -их/-ых. В говорах Архангельской, Вологодской, Вятской губерний такие фамилии образовывали для обозначения целой семьи или рода: Бордовских — это «из семьи Бордовских», то есть тех, кто пошел от человека по прозвищу Бордовой или Бордый. Суффикс -их/-ых застыл в форме родительного падежа множественного числа, и в быту такие фамилии не склоняли, хотя сейчас литературная норма допускает склонение.

Основа фамилии — прилагательное «бордовый» или диалектное «бордой». В литературном языке «бордовый» — это темно-красный цвет, но в русских говорах слово могло иметь другие оттенки смысла. В архангельских и сибирских говорах «бордой» означало «упрямый, своенравный, неподатливый». Прозвище Бордой могли дать человеку с тяжелым характером, который стоял на своем. Есть и более прозаичная версия: в некоторых местностях «бордовым» называли человека с красным, обветренным или румяным лицом — по цвету. Так что предок Бордовских мог быть либо упрямцем, либо обладателем яркого румянца.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает уточнить картину. Фамилии Бордов, Бордовский, Бордовцев встречаются реже, и в них суффиксы указывают на иной способ образования — отчество или принадлежность по отцу. Бордовских же однозначно указывает на родовую принадлежность, что типично для крестьянского севера России, где фамилии закреплялись за целыми семьями в XVI–XVII веках.

Географически фамилия Бордовских до сих пор встречается в основном в Кировской, Архангельской областях и в Пермском крае — это зона бытования северорусских фамилий на -их/-ых. Если ваш предок носил такую фамилию, скорее всего, он был государственным или монастырским крестьянином из этих мест, а прозвище Бордой ему дали за характер или внешность.