Фамилия Борищев — это не столько самостоятельное образование, сколько фонетический «близнец» более распространённой фамилии Боричев. Разница здесь чисто звуковая: в говорах, где «ч» могли заменять на «щ» (явление, знакомое лингвистам как переход ч > щ), фамилия и закрепилась в форме Борищев. Поэтому искать её корни нужно в той же точке, что и у Боричева.

В основе обеих фамилий лежит имя Боря — краткая, домашняя форма от полного имени Борис или Борислав. Оба эти имени восходят к древней славянской основе со значением «борющийся», «борец». Разница между ними в происхождении: Борис — имя церковное, каноническое (вспомним князя Бориса, убитого братом Святополком и причисленного к лику святых), а Борислав — исконно языческое, дохристианское.

Сама фамилия Боричев (а вслед за ней и Борищев) устроена как отчество второго порядка, то есть «внучье» имя. Разбираем цепочку: был человек по имени Боря. Его сына в народе называли Борич (сын Бори). А вот внук, то есть сын Борича, получал прозвание Боричев. Суффикс -ич здесь как раз и указывал на прямое происхождение. Со временем это отчество застыло в фамилии, а в произношении некоторых регионов «ч» перешло в «щ» — так и появился Борищев.

Географически фамилия Борищев тяготеет к юго-западным и западным русским землям, где аканье и замена «ч» на «щ» были особенно сильны. Встречается она нечасто, что неудивительно: её «родительская» форма Боричев и сама не слишком распространена.