Фамилия Бородинов — наглядный пример того, как в русской ономастике работает отчество второго порядка. Если Бородин — это «сын Бороды», то Бородинов — «внук Бороды», то есть сын Бородина. Такой суффикс -ов в третьем поколении редкость: обычно фамилии застывали в форме первого отчества (Иванов, Петров), а двойное отчество встречается в основном в северных и сибирских говорах, где фамилии складывались позже, в XVII–XVIII веках.

Основа, как вы уже догадались, — Борода. Прозвище могло быть как прямым (за окладистую бороду — знак зрелости и мудрости), так и насмешливым (для безбородого). В дохристианской Руси имя Борода давали с пожеланием: чтобы мальчик вырос мужчиной, обрёл социальный вес. По другой версии, Бородинов — это «бородинский», то есть выходец из села Бородино. Таких сёл в России десятки, и самое известное — на месте Бородинского сражения. Однако фамилия Бородинов встречается гораздо реже, чем Бородин, что говорит о её локальном, а не общерусском происхождении.

Словообразовательная модель проста: корень бород- → суффикс -ин (принадлежность) → суффикс -ов (сын). Ударение в фамилии чаще падает на третий слог: Бороди́нов, хотя в некоторых говорах — на первый: Бо́родинов. В переписях XVIII–XIX веков носители этой фамилии чаще всего числились государственными крестьянами или однодворцами южных губерний — там, где фамилии на -инов вообще типичны (например, Родионов, Кудинов).

Если ваши предки — Бородиновы, ищите их корни не в дворянских родословных, а в ревизских сказках Тамбовской, Воронежской или Курской губерний. Именно там «внуки Бороды» могли получить свою редкую фамилию.