Фамилия Босых — это типичная «семейная» фамилия, образованная по модели родительного падежа множественного числа: Босых буквально означает «из семьи Босого». Суффикс -ых (как и -их) характерен для северных и центральных областей России, а также для Сибири, где такие фамилии бытовали в крестьянской среде. В отличие от более распространённых -ов/-ев, эта модель указывала не на отдельного человека, а на весь род или дом: «Чьи будете?» — «Босых».

В основе фамилии лежит прозвище Босой от прилагательного «босой» — необутый, голоногий. Чаще всего так называли бедняка, нищего или странника, который ходил без обуви. Однако есть и другая версия: в некоторых говорах существовало слово «босики» — так называли обувь из старых сапог без голенищ. Если предок был сапожником, тачавшим такую обувь, или торговал ею, прозвище Босой могло стать профессиональным именованием.

Обе версии правдоподобны, но первая — бытовая, от внешнего признака — встречается чаще и проще объясняет, почему прозвище закрепилось. В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) модель на -ых/-их описывается как одна из древних, но менее продуктивных, чем патронимы на -ов. Фамилия Босых — редкий пример, где эта модель сохранилась без изменений, не перейдя в более привычную форму Босов.

Интересно, что однокоренные фамилии — Босой, Босенко, Босиков — встречаются в разных регионах, но именно Босых выдаёт северное или сибирское происхождение рода. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были государственными или экономическими крестьянами из Архангельской, Вологодской или Вятской губерний.