Фамилия Бродмкий — редкий случай, когда написание подсказывает ошибочный путь. Скорее всего, перед нами не вариант фамилии Бродский (от названия города Броды), а искажённая запись фамилии Бродницкий или Бродняцкий. В русских документах XIX — начала XX века, особенно при переписи населения или в церковных книгах, букву «ц» часто путали с «м» из-за неразборчивого почерка писаря. «Бродмкий» — это графический дублет, который закрепился в какой-то конкретной ветви рода.

Если же отталкиваться от чистого корня, фамилия Бродмкий может быть образована от прозвища «Бродма» или «Бродмка». В северных и центральных говорах «бродма» — это не только «брод» (мелкое место для перехода через реку), но и человек, который постоянно бродит, шатается без дела, или, наоборот, тот, кто знает все броды и переправы — проводник. Однако суффикс «-к-» в основе («Бродмк-ий») указывает на то, что прозвище было в уменьшительно-пренебрежительной форме, что типично для фамилий, возникших в крестьянской или мещанской среде.

С точки зрения словообразования, это фамилия польско-украинского или белорусского типа на «-ский». Такие фамилии обычно указывали на владельца поместья (например, Бродмкий — из села Бродмки) или на выходца из определённого места. Но поскольку топоним «Бродмки» не зафиксирован, версия с прозвищем выглядит надёжнее. В польской ономастике есть фамилия Brodmicki, что подтверждает существование такой модели.

Итог: если вы носите фамилию Бродмкий, с высокой вероятностью ваши предки были крестьянами или мелкими ремесленниками из западных губерний Российской империи (современная Беларусь, Украина, Польша). Вам стоит проверить архивные записи под фамилиями Бродницкий, Бродняцкий и Бродмский — скорее всего, истинное написание окажется одним из них.