Фамилия Бродякова — женская форма, а её мужской вариант — Бродяков. В центре внимания здесь не столько корень, сколько суффикс: -ов/-ев — классический патронимический суффикс, указывающий на происхождение по отцу. То есть Бродяков — это «сын Бродяка». А вот с основой «Бродяк» всё сложнее и интереснее.

Самая прямая и очевидная версия — прозвище Бродяк. В русских говорах «бродяга» означало не только бездомного странника, но и человека, который постоянно переезжает, не сидит на месте, возможно — беглого крестьянина или отходника. Однако в ономастике есть нюанс: прозвища с суффиксом -як (-ак) часто носили оттенок просторечия или даже пренебрежения (ср. «простак», «дурак»). Так что Бродяком могли назвать не просто странника, а человека с беспокойным, «бродячим» характером, гуляку или того, кто сменил много мест жительства.

Менее распространённая, но лингвистически обоснованная версия: основа «брод» может восходить к гидрониму — названию реки или ручья (например, река Брод, село Броды). В таком случае Бродяк — это человек, живший у брода, переправы. Суффикс -як в этом контексте указывал на принадлежность к месту: «житель у брода». Эта версия особенно правдоподобна, если фамилия встречается в регионах с развитой речной сетью или в бывших казачьих областях, где «брод» — часть топонимики.

В пользу прозвищного происхождения говорит то, что фамилия Бродяков (и Бродякова) не относится к числу дворянских или широко распространённых. Она скорее крестьянская или мещанская, что типично для фамилий, образованных от прозвищ. В дореволюционных переписях такие фамилии чаще фиксировались в центральных и южных губерниях России, где слово «бродяга» было в ходу.

Ещё один штрих: в некоторых диалектах «бродяк» означало не человека, а предмет — например, бродячий огонёк или болотный газ. Но эта версия экзотична и вряд ли стала бы основой для личного прозвища. Скорее всего, предки носительницы фамилии были людьми подвижными — либо по роду занятий (ямщики, торговцы, сезонные рабочие), либо по жизненным обстоятельствам.