Фамилия Будагяг — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает любую другую версию. Если вы её носитель, ваши предки, скорее всего, были армянами, жившими в одном из сёл на юге России или в Закавказье.

Разбираем слово по костям. Основа «Будаг» — это тюркское имя, распространённое у народов Кавказа и Поволжья. Оно восходит к персидскому «бутак» (ветка, отросток) или к тюркскому «будак» (ветвь). В метафорическом смысле так называли младшего, позднего ребёнка в семье — «веточку» рода. Суффикс «-яг» — типичный для армянских фамилий, образованных от прозвищ или имён (сравните: Хачатрян, Петросян). В русской передаче армянский суффикс «-ян» (принадлежность к роду) иногда редуцировался или записывался как «-яг» под влиянием местных говоров или ошибок писарей. Таким образом, фамилия означает «из рода Будага» или «принадлежащий Будагу».

Есть и более редкая, но правдоподобная версия: фамилия могла возникнуть не от личного имени, а от названия населённого пункта. На территории современной Армении и Азербайджана существуют топонимы с корнем «Будаг» (например, село Будаг в Кельбаджарском районе). В этом случае Будагяг — указание на выходца из такого места. Спор между этими версиями решается просто: имя Будаг встречается в документах гораздо чаще, чем название села, поэтому антропонимическая (от имени) версия надёжнее.

Обратите внимание на окончание. В отличие от классических армянских фамилий на «-ян» (Будагян), форма «Будагяг» с твёрдым «г» на конце — признак русификации или диалектного произношения. В XIX — начале XX века, когда армян переселяли или они сами мигрировали в центральные губернии России, писарям было удобнее записывать фамилию на слух, и мягкий «ян» превращался в «яг» или «як». Поэтому не удивляйтесь, если в старых метрических книгах ваша фамилия записана как Будагян, Будагяк или даже Будагов — это одна и та же родовая ветвь.

Что касается социального статуса, то носители фамилии Будагяг в основном были крестьянами или ремесленниками из Эриванской, Елизаветпольской губерний или с Кубани. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. А значит, ваш предок Будаг — скорее всего, был простым, но уважаемым человеком, главою дома, чьё имя закрепилось за потомками.