Фамилия Будаи — редкий случай, когда географическое название почти наверняка стало фамилией без промежуточного прозвища. В основе лежит топоним Буда — историческая часть Будапешта на правом берегу Дуная. Венгерское окончание -и (-i) как раз и служит указателем на место: в венгерской модели фамилий оно означает «из такой-то местности» или «оттуда родом». Так что Будаи — это «из Буды», «будайский». Носитель фамилии или его предок, скорее всего, переехал из Буды в другую местность, и за ним закрепилось указание на прежнее место жительства.

В русском контексте фамилия могла появиться двумя путями. Первый — через венгерских переселенцев, военнопленных или специалистов, приглашённых на службу в Российскую империю в XVIII–XIX веках. Второй — через православное духовенство. Семинаристам нередко давали «искусственные» фамилии по названиям городов, рек или церковных праздников. Будаи могла быть дана выпускнику духовной семинарии как звучная и книжная фамилия — в одном ряду с Иерусалимским, Римским, Киевским.

Суффикс -и в русской ономастике нетипичен. Обычные окончания русских фамилий — -ов, -ин, -ский. Форма на -и указывает на иноязычное происхождение, чаще всего венгерское или румынское. Встречается фамилия и в украинском варианте Будай, где -ай — тоже редкий суффикс, но возможный как адаптация исходного венгерского окончания.

Менее вероятная, но допустимая версия — происхождение от прозвища Будай, связанного с диалектным словом «буда» (постройка, будка, временное жильё). В таком случае фамилия означала бы «живущий в будке» или «сторож». Однако эта гипотеза слабее топонимической: слишком много совпадений с названием города, и слишком характерен суффикс -и для венгерской модели.

Фамилия остаётся малочисленной. Встречается в России, на Украине, в Венгрии и среди потомков эмигрантов. Известных носителей с широкой всероссийской известностью нет, что типично для фамилий, привязанных к конкретному географическому источнику и не успевших «размножиться» в крестьянской среде.