Фамилия Будах — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия, а почти наверняка прозвище, связанное с характером или поведением человека. Её корень — «буд-», который в русских говорах имел значение «шум, крик, переполох» или «суматоха, беспорядок». Отсюда же и глагол «будить» в значении «шуметь, галдеть». Так что первый Будах, скорее всего, был человеком крикливым, беспокойным, задиристым — тем, кто постоянно поднимал шум и скандал.

Модель образования здесь необычна и заслуживает отдельного внимания. Фамилия не имеет типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Финал на «-ах» — это застывшая форма предложного падежа множественного числа. В русской ономастике такой способ встречается, но редко, и чаще всего указывает на прозвище, данное целой семье или роду: «Будах» буквально означало «в Будах» или «из Будахов», то есть «из тех шумных». Это не фамилия, образованная от имени отца, а коллективное прозвище, которое закрепилось за родом.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским землям. Формы на «-ах» и «-их» (вроде Черных, Косых) более характерны для северных и центральных областей России, но Будах — исключение. Скорее всего, она возникла в среде казачества или крестьянства на территории современной Украины или юга России, где такие прозвища были особенно живучи.

Версия о связи с тюркским словом «будак» (ветка, сук) маловероятна. Хотя фонетически она возможна, прозвище «Ветка» не даёт убедительного объяснения для такой нестандартной фамильной формы. Куда правдоподобнее, что перед нами чисто славянское прозвище, отражавшее не внешность, а нрав.

Встречается и вариант написания Буда́х с ударением на последний слог, что ещё больше подчёркивает его прозвищное, а не географическое происхождение (сравните с названиями городов вроде Будапешт, где ударение иное). Таким образом, фамилия Будах — не про происхождение от предка, а про его характер: шумного, неспокойного человека, который дал прозвище всему своему роду.