Фамилия Будашко образована от прозвища Будаш. В основе лежит слово «буда» — так в южных и западных диалектах называли строение, постройку, а также поташный завод. На таких заводах из золы вываривали щелочную соль (поташ), которую использовали для варки стекла, изготовления мыла, в красильном деле и других ремёслах. В некоторых говорах «буда» обозначала и торговую площадь. Таким образом, прозвище Будаш мог получить либо владелец поташного завода, либо работник на нём, либо человек, живший или торговавший на буде.

Фамилия Будашко — украинская по происхождению, на что указывает суффикс -ко. В украинской ономастике этот суффикс выполнял две функции: уменьшительно-ласкательную (как в именах Ивашко, Петрушко) и патронимическую, то есть указывал на родство — «сын Будаша» или «младший Будаш». Аналогичные модели дали фамилии Тимошко, Миколашко, Гришко. Со временем прозвище Будаш, изначально присоединённое к наследственному имени, полностью заменило его и в повседневной жизни, и в официальных документах, закрепившись как фамильное имя.

Надёжных сведений о сословной принадлежности носителей фамилии Будашко нет. Скорее всего, предки относились к казачеству или крестьянству, поскольку поташное производство было распространено на землях современной Центральной и Восточной Украины, где такие заводы стояли в лесных массивах. Фамилия встречается в Черкасской, Полтавской, Киевской областях, реже — в Беларуси и Польше, что подтверждает её западнорусские корни.