Фамилия Будаж — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно разобрать слово по косточкам, и здесь самое интересное — это суффикс. В русских фамилиях типичны окончания -ов, -ин, -ский. Окончание -аж для восточнославянской традиции нетипично. Это сразу подсказывает, что корни фамилии, скорее всего, не великорусские, а западнославянские или балканские.

В польском, чешском, словацком, а также в украинском и белорусском языках суффикс -аж (или -аш) встречается чаще. Основа «буд» — древняя и многозначная. Самый прямой путь: от глагола «будить», «пробуждать». В таком случае прозвище Буд(а)ж мог получить человек, который рано вставал, будил других на работу, либо пономарь, звонивший к заутрене. В польском языке есть слово «budzic» (будить) и «budzik» (будильник), что делает эту версию логичной и простой.

Вторая версия, не менее весомая, — от слова «будка» или «будовать» (строить). В украинском и польском «буда» — это строение, шалаш, мастерская. Суффикс -аж мог указывать на профессию: Будаж — тот, кто строит будки, либо живёт в будке, сторож. В говорах западных областей «будаж» могло быть названием лесного сторожа или смолокура, который работал в лесной будке.

Третья, более спорная версия, выводит фамилию от личного имени Буд (сокращение от Будимир, Будослав). Такие имена были в ходу у древних славян. Но здесь суффикс -аж необычен: обычно от имени образовывали фамилии через -ов или -ич. Поэтому эта версия менее правдоподобна, если только не предположить, что фамилия прошла через польскую или белорусскую адаптацию.

Географически фамилия Будаж встречается в основном в западных регионах: в Беларуси, на западе Украины, в Польше, а также в Литве. В России она редка и, скорее всего, принесена переселенцами. В любом случае, предок носителя этой фамилии был человеком, связанным с ранним подъёмом, строительством или лесным хозяйством — точнее можно сказать только после изучения конкретной семейной истории.