Фамилия Будзинмкий — один из тех редких случаев, когда написание само подсказывает, где искать корни. Ошибка в суффиксе очевидна: перед нами не «-мкий», а типичная польская или западнорусская фамилия на -ский/-цкий, которая в русской записи получила искажённое окончание. Вероятнее всего, исходная форма — Будзинский (польск. Budziński) или Будзиницкий (Budzinicki). Ошибка «мкий» вместо «цкий» — характерная описка при переписывании или неверном прочтении рукописного текста.

Основа фамилии — польское слово budzić (будить) или budzić się (просыпаться). В польской ономастике суффикс -ин-/-ын- (-in-) плюс -ский (-ski) указывает на принадлежность к месту или роду. То есть Будзинский — это «тот, кто из Будзина» или «с усадьбы Будзина». Названия Budzin, Budziny встречаются в Польше и на западе Беларуси (например, деревня Будзины в Гродненской области). Первично это могло быть прозвище человека, который рано вставал, будил других, либо топоним, связанный со сторожевой или пастушеской службой.

Вторая, менее вероятная версия отсылает к литовскому корню bud- (быть, существовать) или budėti (дежурить, стеречь). В Великом княжестве Литовском фамилии на -инский нередко получали шляхтичи по названию своего имения. Если предок носил герб и владел хутором Будзины, фамилия закрепилась за его потомками.

С точки зрения словообразования, суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение носителя в XVI–XVIII веках. Однако в XIX веке такие фамилии массово получали и крестьяне при переходе в православие или при записи в ревизские сказки — по названию деревни, где жили.

Поскольку фамилия редкая и имеет явную опечатку в суффиксе, её носителям стоит искать предков в польско-белорусском пограничье: современные Гродненская, Брестская области Беларуси, Подляское воеводство Польши. В метрических книгах фамилия могла записываться как Будзинский, Будзиницкий, а в русских документах — превратиться в Будзинмкий из-за небрежности писаря.