Фамилия Будзын — довольно редкая по звучанию, и сразу бросается в глаза её необычный финал. В русских фамилиях суффикс -ын встречается, но чаще всего в кратких притяжательных формах от основ на -а/-я (Сорокин, Птицын). Фамилия Будзын явно не из этого ряда: окончание -ын здесь не суффикс, а часть корня, что указывает на нерусское происхождение.

Скорее всего, перед нами полонизированная или белорусская фамилия. В польском и западнорусском ономастиконе есть фамилии Будзын, Будзынь, Будзыня. Основа — budzić (будить, пробуждать) или buda (будка, шалаш, а в переносном смысле — неуклюжий человек, увалень). Прозвище Будза могли дать тому, кто всех будил, был ранней пташкой, либо, наоборот, человеку медлительному и неповоротливому. Вторая версия: от «будка» — так могли называть сторожа, живущего в будке, или мелкого торговца, работающего в балагане.

Фамилия Будзын закреплена в восточных воеводствах Польши и в западных областях Беларуси. Встречается в Гродненской и Брестской областях, а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. По модели образования она похожа на Будник, Будько, Будзиньский — все они от одного корня, но с разными суффиксами и окончаниями.

Правописание с конечным -ын, а не -ин, — характерная черта старой орфографии или белорусской кириллицы. В метрических книгах XIX века могли писать и Будзын, и Будзин, но форма с Ы указывает на твёрдое произношение, свойственное западным говорам. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из польско-белорусского пограничья, а прозвище могло быть связано либо с характером, либо с профессией сторожа.