Фамилия Будзко звучит не по-русски, и это верная зацепка. Её основа — юго-западная, скорее всего, белорусская или украинская. Суффикс -ко — типичный уменьшительный для этих земель, он же часто оформлял прозвища в фамилии без дополнительных приставок. Так что перед нами прозвище, которое застыло в фамилии.

Корень «будз» или «бдз» отсылает к польскому или белорусскому слову «budzić» — будить. В старину «будзко» могли назвать человека, который рано вставал, будил других на работу, был непоседой или, наоборот, того, кого трудно разбудить. В говорах встречается и значение «болтун», «крикун» — тот, кто поднимает шум. Вторая, менее вероятная версия, — связь с литовским «budėti» (дежурить, сторожить), но для фамилии на -ко это редкость.

Написание через «дз» — характерная черта. В польском и белорусском языках буквосочетание «dz» передаёт мягкий звук, близкий к русскому «дьз». В старых документах фамилию могли записывать как «Будзко», «Будзько» или даже «Будско», если писарь заменял «дз» на «ц» или «з». В России фамилия встречается редко, в основном в западных областях и среди потомков переселенцев из бывшего Великого княжества Литовского.

Социальный контекст прост: это крестьянская или мещанская фамилия. Дворянские роды с таким окончанием — единичны, и то если носитель получал шляхетство позже. Основа прозвищная, без отсылки к ремеслу или имени, что типично для простонародья. Сравните с однокоренными Будников, Будько — та же модель, только суффиксы разные.

В словарях по антропонимике фамилия не описана широко, но по аналогии с фамилиями типа Гудзко, Рудзко её относят к группе белорусских фамилий на -ко, образованных от глагольных основ. Если ваш предок был Будзко, он, скорее всего, жил на территории современной Беларуси или западной Украины и получил прозвище за характер или привычку.