Фамилия Будзинська звучит по-польски и по-украински, и это ключ к её происхождению. Типичный суффикс -ск- указывает на шляхетское или дворянское происхождение: в Речи Посполитой такие фамилии носили землевладельцы, получившие имя по названию своего поместья. Основа «Будзин» почти наверняка восходит к названию населённого пункта — например, Будзинь (польск. Budzyń) в Великопольском воеводстве или несколько деревень Будзины в разных регионах Польши и Украины. Само слово «будзин» или «будза» в польских говорах означало «будка», «шалаш» или «временное жильё», но в топонимике оно чаще связано с именем собственным Будза — сокращённой формой от Будзимир или Будзислав.

В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, эта модель (на -ский/-ская) закрепилась за теми, кто владел землёй, а не за крестьянами. Поэтому предки Будзинських — скорее всего, мелкопоместная шляхта, которая получила фамилию от своего имения Будзины или Будзинь. Со временем, после разделов Польши и переселений, фамилия распространилась на Правобережную Украину, где её записывали уже в украинской огласовке: Будзинська вместо польского Budzyńska.

Окончание -ська (а не -ска) — характерная примета украинской орфографии, хотя сама фамилия остаётся польско-литовского корня. Встречаются и варианты Будзинская (русифицированный) или Будзиньска, но это уже результат адаптации при переезде в Россию. Если ваши предки жили на Волыни или в Подолье, фамилия почти наверняка хранит память о небольшом фольварке, который дал имя роду, — и это редкий случай, когда географическая привязка не стёрлась, а сохранилась в чистом виде.