Фамилия Бурлюбаева звучит не по-русски — в ней нет привычных суффиксов -ов или -ин. Её основа и окончание -ева выдают тюркское происхождение, скорее всего казахское или башкирское. В тюркских языках фамилии часто образуются от личных имён или прозвищ с добавлением аффикса принадлежности, а русское окончание -ева появилось уже при русификации документов.

Разберём корень. Первая часть «Бурлю» может восходить к тюркскому слову «бүрлі» — «кудрявый», «вьющийся» (о волосах), либо к «бөрі» — «волк» (в некоторых диалектах). Вторая часть «бай» — классический тюркский компонент, означающий «богатый», «господин», «хозяин». Таким образом, Бурлюбай — составное имя-пожелание: «кудрявый богач» или, если верить версии с волком, «богатый как волк» (в переносном смысле — удачливый, сильный). Имя Бурлюбай действительно встречается у казахов и башкир как мужское личное имя, от него и пошла фамилия.

Географически фамилия тяготеет к Западному Казахстану и южным районам Урала. В дореволюционных метрических книгах Оренбургской и Уральской областей можно найти записи о Бурлюбаевых среди кочевого и полукочевого населения. Сословно это, скорее всего, потомки скотоводов или охотников, не относившиеся к знати, но и не бывшие на положении рабов — типичные «кара суйек» (чёрная кость), то есть свободные общинники.

Интересная деталь: в русском языке фамилия иногда записывалась через «ю» (Бурлюбаев), а в оригинале — через «ү» (Бүрлібаев). Такая разница в написании — следствие разного восприятия тюркского звука «ү» русскими чиновниками. Если ваши предки переселились в центральную Россию, фамилия могла закрепиться именно в варианте с «ю», который теперь кажется единственным правильным.