Фамилия Бурни — редкий случай, когда прозвище не обросло типовыми русскими суффиксами. Если бы фамилия звучала как Бурнов или Бурнин, её происхождение было бы очевидным: от слова «бурный» (вспыльчивый, резвый человек) или от «буря» (непогода, стихия). Но форма Бурни — без патронимического суффикса — выдаёт иной механизм.

Скорее всего, перед нами фамилия, застывшая в форме прозвища или прилагательного во множественном числе. В русской традиции фамилии на -их/-ых (Бурных, Бурничих) указывали на принадлежность целому роду: «из дома Бурных». Однако в случае Бурни конечное -и может быть следствием украинского или белорусского влияния, где фамилии на -ий/-ій (Бурний) при русификации теряли окончание. В украинском языке «бурний» означает то же — порывистый, неспокойный, и так могли прозвать человека с крутым нравом.

Есть и другая версия, менее очевидная. Основа «бурн-» могла возникнуть от диалектного слова «бурна» — так в некоторых говорах называли глиняный кувшин или горшок. Тогда прозвище Бурна (а затем фамилия Бурни) закрепилось бы за гончаром или продавцом посуды. Но эта гипотеза слабее: нет устойчивой традиции образования фамилий от названий утвари без суффикса.

Географически фамилия тяготеет к юго-западу России и Украине — в реестрах запорожских казаков XVII века встречаются прозвища вроде Бурный, Бурня. Письменные источники фиксируют Бурни в основном среди крестьян и мещан Черниговской, Полтавской, Харьковской губерний. В дворянские родословные книги эта фамилия не попала — сословного статуса у её носителей, по-видимому, не было.

В итоге: фамилия Бурни — либо украинизированная форма прилагательного «бурный» (характеристика темперамента), либо редкий случай прозвища без суффикса, закрепившегося в документах. Точнее сказать сложно: слишком мало данных о ранних носителях.