Фамилия Бурякуря — один из тех редких случаев, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было составным и ироничным. Скорее всего, её носил человек, получивший прозвище «Буря-Куря»: первая часть («буря») указывает на нечто шумное, стремительное или грозное, а вторая («куря») — на курицу, птицу, которая ассоциируется с суетливостью, а не с мощью. Соединение этих двух слов создаёт комичный контраст: «гроза среди кур» или «шумная, но неопасная личность». В русских говорах «куря» — это и курица, и, в переносном смысле, робкий, суетливый человек. Таким образом, прозвище могло закрепиться за тем, кто любил производить много шума, но на деле был безобидным.

Словообразовательная модель фамилии проста и архаична. Фамилия оформлена без суффикса (нулевая суффиксация) — это типично для прозвищ, которые перешли в фамилии в неизменном виде, особенно в среде крестьян и казаков. В отличие от фамилий на -ов/-ев или -ин, которые означают «чей?», фамилия Бурякуря отвечает на вопрос «кто?» и сохранила форму именительного падежа. Такие фамилии чаще всего встречаются на Украине, в южнорусских областях и у донских казаков, где прозвищный тип фамилий был особенно распространён.

Географически фамилия крайне редкая. Поиск по открытым базам данных показывает единичные случаи в Запорожской области Украины и в Краснодарском крае России. Это подтверждает версию о том, что фамилия могла возникнуть в среде запорожских или черноморских казаков, где ценились яркие, меткие и нередко насмешливые прозвища. В сословном отношении предки Бурякуря, скорее всего, были казаками или государственными крестьянами южных губерний.

С точки зрения ономастики, фамилия Бурякуря попадает в разряд так называемых «говорящих» прозвищ, которые давали не по профессии, а по характеру или внешности. Исследователь русских фамилий Б. Унбегаун в своём труде «Русские фамилии» относит подобные сложные прозвища к группе, образованной из двух основ, и отмечает, что они часто носили шутливый или уничижительный оттенок. Таким образом, носитель фамилии может с уверенностью сказать, что его предок был заметным, возможно, немного взбалмошным человеком, чью шумную натуру окружающие запомнили в виде этой забавной словесной конструкции.