Фамилия Бурыко звучит коротко и энергично, и её происхождение угадывается почти сразу — в основе лежит прозвище или прилагательное, связанное с цветом. Корень здесь «бур-», тот же, что в словах «бурый», «буреть». В русских говорах «бурый» означало не только коричневый, но и тёмно-рыжий, серовато-коричневый — цвет шерсти животных, масти лошади или волос человека. Прозвище Бурый давали либо человеку с такими волосами, либо тому, кто носил одежду соответствующего цвета, либо даже медведю — в народной речи «бурый» часто заменяло название самого зверя. От этого прозвища и образована фамилия Бурыко.

Украинский суффикс -ко — одна из самых распространённых моделей фамилий на востоке Украины и в южных областях России. Он выполнял уменьшительно-ласкательную или патронимическую функцию, то есть Бурыко — это буквально «маленький Бурый» или «сын Бурого». Такая форма типична для Полтавщины, Черниговщины, Слобожанщины, откуда фамилия могла распространиться дальше. В отличие от фамилий на -ов/-ев или -ин, которые фиксировали принадлежность к отцу (Буров — сын Бурого), фамилия Бурыко сразу становилась наследственной и не требовала смены окончания у женщин.

Есть и менее очевидная версия, которую приводят некоторые исследователи: связь с диалектным словом «бурыкать» — ворчать, бормотать, говорить невнятно. В таком случае прозвище Бурыка мог получить человек с неразборчивой речью или ворчливый старик. Однако эта гипотеза слабее, потому что основа «бур-» в значении цвета гораздо шире распространена в фамилиях, а суффикс -ко легко присоединяется к прилагательным. Версия с цветом — основная и наиболее вероятная.

Среди носителей фамилии Бурыко встречаются люди самых разных профессий — от крестьян до учёных, но исторически предки, скорее всего, были крестьянами или казаками на землях современной Украины и юга России. Фамилия не относится к дворянским, не встречается в родословных книгах, зато хорошо сохранилась в народной среде, где прозвища по внешним признакам давали особенно часто.