Фамилия Быкаева — женская форма фамилии Быкаев, и её происхождение напрямую связано с мужским вариантом. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Быкай. В русской ономастике суффикс -ай (как в именах Малый — Малай, Косой — Косай) часто образовывал уменьшительные или прозвищные формы. Быкай — это, скорее всего, человек, которого в деревне прозвали за сходство с быком: упрямый, сильный, крупный или, наоборот, с бычьей шеей и повадками.

Сам корень «бык» в прозвищах и фамилиях не редкость. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» упоминаются Быков, Бычков, Быкасов — все они образованы от одного семантического гнезда. Быкаев же стоит несколько особняком: модель на -аев характерна для фамилий, возникших от прозвищ с суффиксом -ай (Быкай), а не от прямого названия животного. Это указывает на более конкретное, личное прозвище, а не на простое «сын быка».

Географически фамилия Быкаев (и Быкаева) встречается в Поволжье, особенно в Татарстане и Башкортостане, а также среди казачества. В тюркских языках слово «бука» или «буга» означает «бык», и фамилия могла возникнуть на стыке русской и тюркской традиций: прозвище Быкай могли дать человеку в многонациональной среде, и оно легко вписалась в русскую модель с суффиксом -ев. Вторая версия — происхождение от крестильного имени Бык (редкое, но фиксируемое в древнерусских грамотах), но она менее вероятна, так как фамилия Быкаев не встречается в ранних московских боярских списках.

По сословной принадлежности Быкаевы — не дворянский род. Фамилия типична для крестьян и однодворцев южных губерний, а также для казачьих станиц. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были свободными землепашцами или служилыми людьми «по прибору», а не крепостными. Точных дат и имён известных носителей в открытых источниках нет, но сама фамилия сохранила живой след деревенского прозвища — без пафоса, но с характером.