Фамилия Бырков — один из тех случаев, когда корень слова не бросается в глаза, а разбор упирается в диалектную лексику. Если отбросить фамильный суффикс -ов (указывающий на принадлежность: «чей?» — сын Бырка), остаётся основа «Бырк-». Самая прямая версия: прозвище Бырко (или Бырка) восходит к диалектному глаголу «быркать» — ворчать, брюзжать, говорить невнятно. В говорах Вологодчины и Архангельской области это слово фиксировали ещё в XIX веке. Соответственно, родоначальник Бырковых получил прозвище за характер — ворчливый, недовольный человек, который постоянно «бырчит» себе под нос.

Есть и вторая, менее очевидная, но лингвистически допустимая версия. В некоторых северных и сибирских говорах «бырка» — это старая, потёртая одежда, лохмотья или плохая обувь. Тогда прозвище Бырка могли дать небрежно одетому человеку, бедняку или тому, кто ходил в обносках. Обе гипотезы не противоречат друг другу: прозвища на Руси часто давали по внешнему виду или по поведению, и обе модели типичны для крестьянской среды.

Фамилия Бырков образована по стандартной патронимической модели: суффикс -ов присоединялся к прозвищу, оканчивающемуся на твёрдый согласный (Бырк → Бырков). Это одна из самых распространённых схем в русской ономастике, характерная для центральных и северных регионов. Интересно, что фамилия не слишком частая, но встречается преимущественно в Вологодской, Кировской областях и в Пермском крае — как раз в зоне бытования севернорусских говоров, где слово «быркать» было в ходу.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Бырдин, Быркалов) показывает, что корень «быр-» в русских прозвищах нередко связан со звукоподражанием или грубой манерой речи. В словаре Б. Унбегауна аналогичные примеры разбираются как типичные «характерологические» прозвища. Таким образом, Бырков — это не географическая или профессиональная фамилия, а прозвищная, рассказывающая о человеческом типе: ворчливом, нелюдимом или, напротив, неопрятном. Никаких знатных родов или громких исторических личностей за этой фамилией не числится — она из народной толщи, из деревенского быта.