Фамилия Быстрецких — одна из тех, что сразу выдают свою северную или уральскую прописку. Форма на -их (в родительном падеже множественного числа) типична для северных и сибирских говоров: так закреплялись прозвища целой семьи или рода. «Быстрецкие» буквально означает «из дома Быстрецкого» или «принадлежащие Быстрецкому». В официальных документах такие фамилии часто не склоняли, а в быту говорили: «пойдём к Быстрецким», отсюда и застывшая форма.

Основа фамилии — «Быстрец». Это не река и не село (хотя топоним Быстрец встречается, например, в Кировской области и на Украине), а, скорее всего, прозвище человека. Слово «быстрец» в русских диалектах имело несколько значений: так называли быстрого, проворного человека, непоседу. В некоторых говорах «быстрец» — это ещё и вид рыбы (быстрянка), а также название ветра или даже водоворота. Но самое вероятное — прозвище по характеру: шустрый, резвый, не сидящий на месте. Такие прозвища давали не в укор, а как точную примету.

Суффикс -ец в основе указывает на то, что прозвище было образовано от качественного прилагательного («быстрый») по продуктивной модели: быстр(ый) + -ец = Быстрец. Затем к этому прозвищу добавился типичный для северных фамилий суффикс -ск-, который обычно оформлял фамилии по месту жительства или по имени владельца (как у дворянских фамилий на -ский). Но в крестьянской среде Русского Севера фамилии на -ский нередко давали просто для «благозвучия» или по прозвищу, без связи с географией. Так Быстрец стал Быстрецким, а его домочадцы — Быстрецкими.

Фамилия редкая. Встречается в основном в Пермском крае, Кировской области и в Сибири, куда переселенцы с севера принесли свою модель фамилий. В дореволюционных источниках можно найти крестьян и мещан с такой фамилией. Сословного барьера у неё не было: и крестьянин, и священник могли носить Быстрецких, но форма на -их выдаёт именно непривилегированное, сельское происхождение.

Если ваш предок носил фамилию Быстрецких, скорее всего, он был уроженцем северных губерний России, а его пращур получил прозвище за живой, подвижный нрав. Никакой тайны, только меткая народная наблюдательность.