Фамилия Быстряева — женская форма от Быстряев, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Перед нами редкий для русских фамилий суффикс -яев, который встречается в основном в Поволжье и на юге России. Чаще всего он присоединялся к прозвищам или именам, оканчивающимся на -яй: Быстряй, Кудряй, Шумяй. То есть Быстряев — это буквально «сын Быстряя» или «принадлежащий Быстряю».

Основа фамилии — прилагательное «быстрый». Но прозвище Быстряй давали не просто за скорость бега. В русских говорах «быстряй» могло означать человека бойкого, расторопного, сообразительного — того, кто быстро схватывает и быстро делает. В некоторых диалектах слово имело ироничный оттенок: так называли суетливого, торопливого человека, который всё делает наспех. Поэтому фамилия могла закрепиться как за умельцем, так и за вечно спешащим неудачником.

Географически фамилия Быстряевы (и Быстряевы) тяготеет к Вятке и Пермской губернии. В переписях XVII–XVIII веков встречаются крестьяне и посадские люди с таким прозвищем на реке Вятке и в прикамских слободах. Это согласуется с ареалом суффикса -яев — он типичен для севернорусских и вятских говоров. Позже фамилия распространилась на Урал и в Сибирь вместе с переселенцами.

В отличие от фамилий Быстров или Быстрицкий, которые образованы напрямую от прилагательного или от названия реки, Быстряев сохраняет живую разговорную форму прозвища. Сравните: Быстров — это «чей-то быстрый», а Быстряев — «сын Быстряя». Разница в том, что прозвище Быстряй звучало более личностно, даже фамильярно: так могли окликнуть конкретного человека в деревне.

Встречается также вариант написания с одной «с» — Быстряев, хотя исторически правильнее через двойную, как в слове «быстрый». В документах XIX века можно найти обе формы, и это не ошибка, а следствие живого произношения: в быстрой речи двойная согласная редуцировалась. Если ваша фамилия Быстряева, вы носите память о предке, которого в своём кругу называли Быстряй — за скорость, сноровку или, возможно, за привычку всё делать второпях.