Фамилия Демше — это не типичная русская фамилия на -ов/-ев или -ин, а скорее всего, вариант фамилии с корнем Демш-, оформленный по модели, характерной для западных славян или балтийских народов. Ключевая особенность здесь — окончание -е, которое не свойственно русскому словообразованию и указывает на то, что фамилия могла быть записана в латышской, литовской или польской традиции, где форма на -е часто передаёт притяжательное значение или просто фиксирует основы без типичных славянских суффиксов.

Основа Демш- восходит к сокращённой форме крестильного имени Дементий (от латинского Dominicus — «господский», «принадлежащий Господу»). В русской народной среде имя Дементий часто усекали до Дёма, Демша, Демш. Так что Демше — это, по сути, «из рода Демши», «сын Демши». Если бы фамилия формировалась в России, она звучала бы как Демшин или Демшов, но окончание -е выдаёт иной ареал бытования.

Географически фамилия Демше встречается редко, но её можно найти в Латвии и в тех регионах, которые исторически входили в состав Речи Посполитой или Курляндского герцогства. В польской ономастике есть фамилия Demszyc, а в латышской — Demsis, Dems, где основа та же. В русских документах фамилия могла появиться как результат полонизации или латышской записи при переездах или смешанных браках.

Интересная деталь: суффикс -ш- в основе (Демша) — это не просто усечение, а один из древних способов образования уменьшительно-ласкательных форм имён в славянских языках (сравните: Иван → Иваш, Матвей → Матюш). Так что Демше — это фамилия, которая сохранила в себе очень старую, почти диалектную манеру называть человека по имени.

Если искать аналоги в русской среде, то ближайшие параллели — фамилии Демшин, Демшов, Демш. Но именно форма Демше стоит особняком: она не русская по грамматике, а скорее балтийская или польская. Это значит, что предки носителя этой фамилии, скорее всего, жили на стыке культур, где имя Дементий звучало по-соседски, а фамилию записали так, как было принято в местной канцелярии — без русского суффикса, с характерным окончанием.