Фамилия Дербинская — это отчество второго порядка, то есть «внучья» форма. Она означает «сын Дербина» и, в конечном счете, «внук (или потомок) Дербы». В основе лежит прозвище или нецерковное имя Дерба. Дальше начинаются варианты, и здесь есть над чем задуматься.

Первая и самая конкретная версия — профессиональная. В «Толковом словаре» В. И. Даля глагол «дербить» означает «чесать, скрести, царапать, драть, теребить». Человек с прозвищем Дерба мог заниматься обработкой льна, конопли или пеньки — трепал и чесал волокно. Работа грубая, но необходимая в крестьянском хозяйстве, так что прозвище могло закрепиться за мастером или просто за тем, кто постоянно возился с этим сырьём.

Вторая версия отсылает к характеру. В ярославских говорах «дерба» — это неуклюжий, мешковатый человек. Прозвище могло отражать манеру двигаться или общую неповоротливость предка. Эта гипотеза тоже имеет право на жизнь, но менее доказательна, чем «ремесленная», — глагольная основа «драть, теребить» встречается в фамилиях чаще, чем диалектная черта характера.

Есть и третий путь: фамилия могла быть топонимической. Деревни и села с названием Дербино разбросаны по России. Выходец из такого места получал прозвище Дербинский, которое со временем закрепилось как фамилия. В этом случае связь с глаголом «дербить» уже не прямая, а косвенная — через название поселения, которое могло возникнуть от фамилии первопоселенца или от местной особенности (например, «дерба» — целина, заросшая травой, которую «дерут» под пашню).

Суффикс -ск- в фамилии Дербинская указывает на принадлежность либо к роду (как в польской модели образования фамилий шляхты), либо к местности. В русской среде такие фамилии чаще давали людям из духовного сословия или тем, кто переселялся и хотел подчеркнуть своё происхождение из конкретного места. Так что, если ваши предки были не крестьянами, а, скажем, священниками или мещанами, версия с топонимом Дербино становится более весомой.

Коротко: фамилия Дербинская могла возникнуть из-за работы со льном, из-за неуклюжей походки или из-за названия деревни. Какой из этих путей верный для вашей семьи — можно попробовать выяснить по архивным записям, но в любом случае за фамилией стоит живое прозвище, а не книжное слово.