Фамилия Дербякова — женская форма фамилии Дербяков, и ключ к её происхождению лежит в прозвище или мирском имени Дербень. В русских говорах слово «дербень» имело несколько значений, что делает этимологию особенно интересной. Чаще всего так называли человека нелюдимого, угрюмого, возможно, склонного к ссорам — от глагола «дербить» (сердиться, браниться). Однако в некоторых областях «дербень» означало и заросли кустарника, лесную чащу, и даже грубую льняную ткань. Соответственно, прозвище могло прицепиться к жителю глухого леса или к тому, кто занимался изготовлением или продажей дерюги.

Словообразовательная модель типична для русского Севера и Поволжья: основа Дербень, затем притяжательное прилагательное Дербяков (чей? — сын Дербеня), а от него — фамилия. Суффикс -як- в основе встречается реже, чем -ов/-ев, и указывает на вариант «Дербяк» — вероятно, сокращённую или диалектную форму того же прозвища. Встречаются однокоренные фамилии Дербенев, Дербин, Дербасов — все они восходят к одному лексическому гнезду, но разошлись по разным регионам.

Географически фамилия Дербяков (и Дербякова) тяготеет к Вологодской, Архангельской и Кировской областям — это зона бытования северных говоров, где слово «дербень» было в ходу. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне с прозвищем Дербень, что подтверждает древность антропонима. Сословно предки носителей фамилии — скорее всего, черносошные крестьяне или посадские люди, реже — однодворцы.

Вторая, менее вероятная версия связывает основу с тюркским «дербе» — «отдельный, обособленный». Но для фамилии, зафиксированной в русском Северо-Западе, такое объяснение выглядит натяжкой: тюркские заимствования в этих краях редки, а слово «дербень» в русских говорах объясняет всё без привлечения иноязычных корней. Так что ищите свои корни в лесной глуши или в характере предка — оба пути ведут к одному прозвищу.