Фамилия Дерегина — женская форма фамилии Дерегин, а та, в свою очередь, образована от мужского прозвища или нецерковного имени Дерега. В русской ономастике это довольно редкий случай: основа фамилии не связана напрямую с распространёнными ремёслами или природными объектами, а восходит к диалектному глаголу «дерегать» — то есть «дёргать», «рвать», «теребить». В разных говорах это слово могло означать и «чесать лён», и «выдёргивать сорняки», и даже «беспокойно двигаться».

Прозвище Дерега, скорее всего, давали человеку суетливому, непоседливому или тому, кто занимался обработкой льна — «дерегал» его, очищая от костры. В северных и центральных губерниях России такой промысел был распространён, и прозвище могло закрепиться за крестьянином, который постоянно работал с трепалом, дёргая волокно. Менее вероятна, но возможна связь с украинским или белорусским «дерега» в значении «драчун», «забияка» — от того же корня, что и «дёргаться» в смысле «лезть в драку».

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Дерегин буквально значит «сын Дереги». Такая модель типична для фамилий, образованных от прозвищ на -а/-я, и встречается в основном в северорусских и центральных регионах. Географически фамилия Дерегин (и Дерегина) встречается в Вологодской, Архангельской и Кировской областях, а также в Поволжье — там, где сохранились архаичные диалекты. Встречаются также однокоренные фамилии Дерягин и Дерябин, но Дерегин стоит особняком: в ней сохранился корень с «е», а не с «я», что указывает на более раннюю фиксацию прозвища.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель на -ин от прозвищ на -а описывается как одна из древнейших, но фамилия Дерегин не входит в число частотных — это редкая, локальная фамилия. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из северных губерний, где обработка льна была основным занятием.