Фамилия Дерюжинская — женская форма от Дерюжинский, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в том, как её образовали. Это типичная «географическая» фамилия, то есть указывающая на местность, откуда родом её первые носители. Суффикс -ский (в женском роде -ская) в русских фамилиях чаще всего означает «из такого-то места» или «владелец такого-то поместья». Поэтому первая и самая вероятная версия: предок носительницы фамилии был либо помещиком, владевшим селом или хутором Дерюжино, либо выходцем из населённого пункта с похожим названием. Такие топонимы действительно встречаются — например, деревня Дерюжино есть в Смоленской области, а также в Беларуси.

Основа «дерюж-» восходит к слову «дерюга» — грубая ткань из очёсов льна или пеньки, а также одежда из неё. В переносном смысле «дерюга» могла стать прозвищем человека неопрятного, бедно одетого или, наоборот, того, кто сам ткал или торговал такой тканью. Однако в случае с фамилией на -ский прямое прозвищное значение менее вероятно: такие фамилии, как правило, закреплялись за дворянством или духовенством, а не за крестьянами. Скорее всего, название деревни Дерюжино произошло от прозвища первопоселенца Дерюга, а уже от названия деревни — фамилия помещиков Дерюжинских.

Вторая, менее распространённая версия — белорусское или украинское происхождение. В этих языках слово «дерюжити» могло означать «драть, рвать» или «обирать, грабить», что тоже могло дать прозвище. Но для фамилии на -ский это звучит натянуто: такие прозвища обычно превращались в фамилии с суффиксом -ов/-ев или -ин.

Что характерно: фамилия Дерюжинская — не самая частая, но и не редкая. Она встречается в основном на западе России, в Беларуси и на Украине, что подтверждает её «географический» след. В дворянских родословных книгах эта фамилия не значится как широко известная, но отдельные роды Дерюжинских могли относиться к мелкопоместному дворянству или духовному сословию. В любом случае, если вы носите эту фамилию, ваш предок, скорее всего, был связан с конкретным местом — деревней или усадьбой, название которой пошло от грубой ткани или прозвища.