Фамилия Дежурова образована от прозвища Дежур. В его основе — глагол «дежурить», то есть «дневать, быть дневальным, чередоваться поденно». В дореволюционной России слово «дежурство» имело и более узкое, военное значение: так называли управление дежурного генерала армии, ведавшего военной полицией, судебно-исполнительными и госпитальными частями. Поэтому прозвище Дежур мог получить человек, связанный с этой службой — скорее всего, военный или чиновник, отвечавший за наряды и порядок.

Модель образования фамилии проста: к основе Дежур добавился типичный русский суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — Дежуров). Окончание -а в современном написании — это женская форма, но сама фамилия, как и большинство русских фамилий на -ов, мужская.

Интересно, что в отличие от многих прозвищных фамилий, которые восходят к устаревшим или диалектным словам, основа здесь прозрачна и понятна современному носителю языка. Глагол «дежурить» прочно вошел в обиход, хотя в XVIII–XIX веках он имел более формальный, канцелярский или военный оттенок. Таким образом, фамилия Дежурова — не про бытовое занятие, а про должность или служебную обязанность предка. Это редкий случай, когда фамилия прямо называет не ремесло, а специфический вид государственной или армейской службы.