Фамилия Догодаев (а также её более распространённый вариант — Догадаев) хранит в основе прозвище Догадай. В старину существительное «догад» или «догада» означало не просто догадливость, а конкретное качество — находчивость, сметливость, способность быстро найти выход из положения. Так что прозвище Догадай давали человеку с острым умом — смышлёному ребёнку или ловкому, сообразительному взрослому.

Обратите внимание на суффикс -ай. В русской антропонимии эта модель была продуктивной: прозвища на -ай (Болтай, Ломай, Стреляй) нередко превращались в фамилии. Они звучали как приказ или пожелание, но на деле закрепляли за человеком его характерную черту. В случае с Догадаем — умение быстро «схватывать» суть.

Написание фамилии с буквой «о» в первом слоге — Догодаев — результат исторического «аканья»: в безударной позиции звук [а] произносится как нечто среднее между «а» и «о», а на письме в разных местностях закреплялся по-разному. В документах XIX — начала XX века можно встретить оба варианта, но Догадаев встречается чаще. Догодаев — более редкая, «окающая» форма, которая могла закрепиться в конкретной семье или регионе.

Фамилия относится к типичным русским патронимическим фамилиям на -ев (от основы на мягкий согласный). Она не дворянская и не купеческая — скорее всего, её носили крестьяне или мещане, у которых прозвище Догадай было неофициальным именем, пока в XIX веке не стало обязательной фамилией.