Фамилия Дорогая — это типичная «материнская» фамилия, образованная от женского варианта прозвища или мирского имени. Мужская форма — Дорогой. В русской традиции такие фамилии на -ая/-ой чаще всего закреплялись за женщинами в качестве фамилии мужа либо отца, либо, реже, передавались по женской линии, когда глава семьи был известен под этим именованием.

В основе фамилии — прилагательное «дорогой» в его прямом значении: ценный, любимый, желанный. Тут сходятся две версии, и обе правдоподобны. Первая: мирское имя Дорогой давали долгожданному ребёнку — первенцу или тому, кого вымолили у Бога. Такая практика была распространена в дохристианской и раннехристианской Руси: имя-оберег, которое одновременно выражало радость и надежду. Вторая версия: прозвище Дорогой получал человек, которого в обществе высоко ценили — за талант, ум, благородство или полезность. В среде крестьян и ремесленников такое прозвище могло закрепиться за уважаемым мастером, без которого не обходилось общее дело.

Словообразовательно фамилия проста: основа «дорог-» плюс суффикс притяжательного прилагательного. В мужском варианте — Дорогой (как Толстой, Благой), в женском — Дорогая. Такие фамилии нередко сохраняли грамматическую форму, не склоняясь как типичные -ов/-ин, что указывает на их более позднее закрепление в качестве фамилий, а не отчеств.

С географией интереснее. Фамилия редкая, не массовая. Встречается точечно: в ревизских сказках и метрических книгах XIX века её фиксируют на юге России — в Воронежской, Курской губерниях, а также среди казачества. Позже носители расселились дальше: в Книге памяти Хабаровского края упоминается Анна Владимировна Дорогая (1908 г. р., село Березовка Хабаровского района). Отдельно стоит Инна Борисовна Дорогая (1903 г. р., Рига) — её фамилия уже в форме женского рода, что для прибалтийских губерний нехарактерно и может указывать на переселение из центральных областей.

В академической ономастике фамилия Дорогой/Дорогая упоминается в словаре Б. Унбегауна как пример фамилии, образованной от прилагательного без дополнительного суффикса — по продуктивной, но не самой частотной модели. Споров вокруг корня нет: значение прозрачное, а вариативность (Дорогой — Дорогая) связана исключительно с грамматическим родом носителя.