Фамилия Досай — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В отличие от тысяч русских фамилий на -ов, -ев или -ин, она имеет финаль -ай, что сразу наводит на мысль о тюркских или кавказских корнях. В русском языке такая модель встречается в фамилиях, образованных от прозвищ или личных имён, заимствованных у соседних народов: Калтай, Манцай, Толмай. В основе Досай почти наверняка лежит тюркское мужское имя или прозвище.

Самая вероятная версия связывает фамилию с тюркским словом «дос» — друг, товарищ. В казахском, татарском, башкирском и других тюркских языках это слово широко распространено. Суффикс -ай в тюркских именах часто носил ласкательный или уменьшительный оттенок. Таким образом, Досай могло означать «дружок», «милый друг» или быть личным именем-пожеланием, чтобы ребёнок вырос дружелюбным и имел много товарищей. Фамилия, скорее всего, образована от этого имени без дополнительных русских суффиксов — так нередко фиксировали фамилии тюркского происхождения в документах XIX века, особенно в южнорусских и поволжских губерниях, а также в среде казачества.

Менее распространённая, но возможная версия — связь с казахским словом «досай» (дос + ай), где «ай» — месяц, луна. В тюркской ономастике компонент «ай» часто входит в состав имён (Айгуль, Айдар, Айбек) и может придавать имени поэтический оттенок: «друг-луна» или «лунный друг». Однако в качестве фамилии такая форма встречается реже, чем простое имя Досай.

Географически фамилия Досай сегодня встречается в России нечасто. Основные очаги — Оренбургская область, Татарстан, Башкортостан, а также Казахстан. Встречается она и среди украинских казаков, что объяснимо контактами с тюркским населением. Сословно предки Досай могли быть как крестьянами, так и казаками или мещанами — фамилия не несёт в себе указания на дворянское происхождение.

Есть и редкая версия, которую иногда выдвигают, — связь с корейским словом «тоса» (учитель, наставник), но она выглядит натянутой: фамилия Досай не фиксируется в корейской ономастике, а её распространение в русскоязычной среде указывает именно на тюркский след. Так что если вы ищете корни фамилии Досай, начинать стоит с Поволжья, Приуралья или казахских степей, а в основе имени вашего предка лежало простое и тёплое слово «друг».