Фамилия Дробная — женская форма от Дробный. В основе лежит прилагательное «дробный», то есть «разделённый на мелкие части». Но прямое значение здесь не главное. Скорее всего, прозвище Дробный получил человек невысокого роста — «мелкий», «маленький» в переносном смысле. Такая модель встречается во многих русских фамилиях: внешность давала прозвище, а прозвище становилось фамилией.

Есть и вторая версия. Глагол «дробить» — расчленять, разделять на части. Если отталкиваться от неё, предок мог быть мясником или ремесленником, работающим с дроблением. Эта гипотеза менее вероятна: фамилии от профессий чаще образуются через суффиксы -ник или -арь (Мясников, Дробот), а форма на -ый типична для прозвищ по признаку.

Обратите внимание на окончание -ая. В русской ономастике фамилии на -ая, -яя характерны в основном для южных и западных регионов (Украина, Белоруссия, юг России), где прилагательные в женском роде закрепились как фамилии без добавления патронимического суффикса. Это отличает Дробную от более распространённых фамилий на -ов/-ев или -ин. Если бы фамилия была образована стандартно, она звучала бы как Дробнов или Дробнин.

Встречаемость фамилии невысокая. Она не входит в списки массовых русских фамилий, что подтверждает её локальный характер. В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова подобные модели разбираются как типичные для прозвищной номинации по внешнему признаку. Так что, скорее всего, первый Дробный был просто человеком небольшого роста — и это прозвище закрепилось за его родом.